0-1 背包问题

题目:

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路:

这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物 品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化空间复杂度:

以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O。

先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组 f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:

for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。

 

来看一个题目:

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?

image

上面的1~10是背包为相应容量时的最大价值!

首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。

如果物品n的重要超过背包允许的总重量,则物品n不放入背包,此时背包中物品的总价值为0,否则,如果物品n装入背包后不超重,则装入物品n,此时背包的总价值为物品n的价值v[n]。

因为W(e)为4,当背包容量volume小于W(e)时不能放入,所以当前的背包总价值都为0.当volume>=W(e)时,物品e可以放入背包,此时当前的背包总价值都为V(e).

后面的以此类推,来看下右上角的15是怎么来的,我们把其看做m(1,10)。

m(1,10) = max(m(2,10),m(2,(10-2))+6)=max(11,15)=15.

 

编写代码如下:

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#include <iostream>
using namespace std;
int bag[12900];
int w[3410],v[3410];
void main(void)
{
    int n,m,i,k;
    cin >> n >> m;    //背包数、 总容量
    for(i=1; i<=n; i++)
        cin >> w[i] >> v[i];    //背包容量、 背包价值
    memset(bag,0,sizeof(bag));
    for(i=1; i<=n; i++) {
        for(k=m; k>=w[i]; k--){
            if( bag[k-w[i]]+ v[i] > bag[k] ){
                bag[k] = bag[k-w[i]]+ v[i];
            }
            cout<<bag[k]<<"\t";
        }
        cout<<endl;
    }
    cout << bag[m] << endl;
}

输入数据:

5 10
4 6
5 4
6 5
2 3
2 6

运行结果:

image大家可以在POJ上刷刷类似的题目,像POJ3624就是一个最简单的0-1背包问题。

本文链接:http://www.blogfshare.com/zero-one-bag.html

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